Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist eine statistische Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der sich die Anzahl bestimmter Ereignisse innerhalb eines festgelegten Zeitraums oder einer anderen Beobachtungseinheit modellieren lässt. In der Versicherungswirtschaft wird sie insbesondere zur Untersuchung von Schadenanzahlen und Schadenhäufigkeiten eingesetzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson.

Wie funktioniert die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Anzahl von Schadenfällen auftritt, wenn die durchschnittlich erwartete Anzahl bekannt ist. Der zentrale Parameter ist Lambda (λ). Er gibt den Erwartungswert an und entspricht bei der Poisson-Verteilung zugleich der Varianz.

Die Wahrscheinlichkeit für genau k Schadenfälle wird mit folgender Formel berechnet:

P(X = k) = (λ^k × e^−λ) / k!

Dabei bezeichnet k die Anzahl der Schadenfälle (0, 1, 2 usw.), λ die durchschnittlich erwartete Schadenanzahl und e die Eulersche Zahl (ungefähr 2,718). Das Ausrufezeichen steht für die Fakultät, also das Produkt der positiven ganzen Zahlen bis k. Für k = 0 gilt 0! = 1.

Wie wird die Poisson-Verteilung in der Versicherung verwendet?

In der Schaden- und Unfallversicherung können Versicherer mithilfe der Poisson-Verteilung die Anzahl von Schadenfällen innerhalb eines bestimmten Zeitraums modellieren. Ein Anwendungsgebiet ist die Kfz-Versicherung, bei der beispielsweise untersucht wird, wie viele Schäden pro Versicherungsvertrag oder innerhalb eines größeren Versicherungsbestands zu erwarten sind.

In verallgemeinerten linearen Modellen (GLM) kann eine Poisson-Regression eingesetzt werden, um die erwartete Schadenanzahl anhand verschiedener Risikomerkmale zu schätzen. Dazu gehören beispielsweise der Fahrzeugtyp oder die jährliche Fahrleistung. Unterschiedliche Beobachtungszeiträume und Risikoexpositionen müssen dabei sachgerecht berücksichtigt werden. Bei Modellen für Schadenanzahlen geschieht dies häufig über einen sogenannten Offset, bei Modellen für Schadenhäufigkeiten über eine entsprechende Gewichtung.

Welche Bedeutung hat die Poisson-Verteilung für Versicherungsbeiträge?

Die erwartete Schadenhäufigkeit ist eine wichtige Grundlage der versicherungsmathematischen Beitragskalkulation. Für die Berechnung des voraussichtlichen Schadenaufwands muss zusätzlich berücksichtigt werden, wie hoch die einzelnen Schäden ausfallen können. In sogenannten zusammengesetzten Poisson-Modellen wird der Gesamtschaden als Summe einer zufälligen Anzahl einzelner Schadenhöhen modelliert. Die Schadenanzahl folgt dabei einer Poisson-Verteilung, während die einzelnen Schadenhöhen durch ein zusätzliches statistisches Modell beschrieben werden.

Die Poisson-Verteilung allein bestimmt jedoch nicht die Versicherungsprämie. Neben dem erwarteten Schadenaufwand berücksichtigen Versicherer unter anderem Kosten, Sicherheitszuschläge und weitere kalkulatorische Faktoren.

Welche Voraussetzungen und Grenzen hat die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung beschreibt zunächst die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlicher Ereignisanzahlen. Soll zusätzlich das zeitliche Auftreten der Ereignisse modelliert werden, kann ein Poisson-Prozess verwendet werden. Beim einfachen homogenen Poisson-Prozess wird angenommen, dass die Ereigniszahlen in voneinander getrennten Zeitintervallen unabhängig sind und die durchschnittliche Ereignisrate konstant bleibt.

In der Versicherungspraxis können diese Modellannahmen unzureichend sein. Beispielsweise kann ein schweres Hagelereignis zahlreiche miteinander zusammenhängende Schäden verursachen. Auch unterschiedliche Risikostrukturen innerhalb eines Versicherungsbestands können dazu führen, dass die tatsächliche Streuung der Schadenanzahl größer ist als im einfachen Poisson-Modell vorgesehen. In solchen Fällen können erweiterte Modelle oder andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen geeigneter sein.

Ist die Poisson-Verteilung gesetzlich vorgeschrieben?

Nein. Die europäischen Solvency-II-Regelungen und das deutsche Versicherungsaufsichtsrecht stellen Anforderungen an das Risikomanagement und die finanzielle Ausstattung von Versicherungsunternehmen. Sie schreiben jedoch nicht allgemein die Verwendung der Poisson-Verteilung vor. Versicherer können unterschiedliche geeignete mathematische und statistische Verfahren zur Risikobewertung einsetzen.